2017-07-01

フーリエ変換　ﾒﾓ2　-フーリエ変換の変数の意味と使用例-

【3】フーリエ変換の変数
どの言語でも対応できるようにしたいので実際のコードではなく、あくまで具体的な利用法を文章で記述していきます

まず現実の音データを受け取ったものを　f(x)　とします
前回のフーリエ変換の定義式の f(x) に対応しています

さて、前回ディリクレの条件を満たすあらゆる関数はsin波とcos波の足し合わせで出来ていることを説明しました
これは受け取る音データに関しても言えることです。ちなみにある関数をsin波とcos波の足し合わせで表現できる形に直すことをフーリエ変換といいます。
これから受け取ったデータをフーリエ変換しよう、つまり「sin波とcos波で表現しよう」というのですから、そのデータはディリクレの条件を満たしていると仮定して進めていくことになります
というか基本的に無視しても問題ないと思います

前回の定義式は

f:id:akikanR:20170605203632p:plain

でした
音に関しては f (x)のxは時間経過で増えていくサンプルの数になります
例えばサンプリングレートが44100Hz(1秒間に44100回サンプルを取る)で一秒間録音した場合
一番最初のサンプルの値はｆ（0 ) 、一番最後のものはｆ (44099)に入っています
ここで定義式の中の変数の具体的な意味を見ていきましょう
まずは2πですこれは言わずもがな、360度であり、円です
次にＮ、これは周期です
周期で2πを割るということは1周期で丁度１回転しますね
Σで変化させている x は2π/Nを０から2πギリギリまで変化させています
周期の単位は「秒」ですからｘは時間による変化を示す変数と言えます

では t は何を示す変数なのでしょうか
t = 1のときのcos と sin の中身について考えて見ましょう
t = 1のときのcos と sin の中身は共に　2πｘ/N
先ほども説明したとおり x は 2π/Nを０から2πｷﾞﾘｷﾞﾘまで変化させます
要するに　t = 1のときは丁度周期Ｎで一周する周波数のフーリエ変換と言えます
この波形を示すとこうなります

f:id:akikanR:20170605204717p:plain

では次にtを2にした波形を示します

f:id:akikanR:20170605204732p:plain

横軸の長さは変わらす繰り返しの回数が増えましたね？

ではｔ＝３のときは？もう画像を貼らなくても分かりますね？繰り返しの回数は3回になります
そう、t は周波数を制御する変数といえます

こと音に関して言えばフーリエ変換とは
時間の関数を周波数の関数に写像する変換
ということができます

では周波数 t はどこからどこまでの範囲にすればいいの？
という話になりますね
私の経験則で申し訳ないのですが音データのサンプル数/2まで移動させれば大丈夫です
もし不十分な場合は音データのサンプル数と同じHz(サンプル数が10000なら10000Hz)まで移動させれば確実です

以上までがフーリエ変換の詳しい話です

【4】フーリエ変換の具体的な使用法
いよいよもって具体的な利用法です

といっても[3]で殆ど説明してしまったのでまとめるだけになります
虚数を格納する変数 image と実数を格納する変数 real を用意します

変数 k を１ずつ増やして、音データ数の半分になるまでループ
｛
　　　　real (k) = 0で初期化
　　　　image (k) = 0で初期化
　　　　変数 t を　周期-1　まで１ずつ増やしてループする
　　　　｛
　　　　　　　　real ( k ) = real ( k ) +　real ( t ) * cos(2πtx / N)
　　　　　　　　imag( k ) = imag( k ) + image( t ) * sin(2πtx / N)
　　　　｝
｝
こんな形になります
ね？簡単でしょ？

＃初稿2015年4月1日

2017-07-01

フーリエ変換　ﾒﾓ１　-フーリエ変換の発想と離散フーリエ変換-

音に関するプログラムをいろいろ組んでみたので忘れないうちにここにメモして置きます
※正しいとは限りません御了承ください

フーリエ変換について
第一にフーリエ変換とは与えられた関数の構成要素を調べる数式です
定義式は

f:id:akikanR:20170605203139p:plain

となります
π：円周率
i :虚数

しかしこれをコンピュータ上で行う場合∞というのは扱いに困りますし、これだけ与えられても具体的にどう取り扱っていいのか分かりませんよね？少なくとも私は分かりませんでした。
よって以下に私が分かればいいや程度で説明していきます。

【1】そもそもフーリエ変換の基本的な発想は？
（まとめだけ読んでもたぶん差し支えありません）
そもそもの始まりは「あらゆる関数はsin波とcos波の足し合わせで表現できる」ということをフーリエさんが発見したことでした（流れは違うかもしれませんが基本的なアイディアはこれです）sin波とcos波の足し合わせで表現する関数をフーリエ級数と呼びます。
フーリエさんの「あらゆる関数はsin波とcos波の足し合わせで表現できる」という考え、
実際にはあらゆる関数に適応させることは出来ませんでした
フーリエさんの考えを適応するためには条件があったのです
その条件はディリクレの条件と呼ばれています
といってもディリクレの条件はゆるく、殆どの関数が条件を満たします。唯一注意する必要のありそうな条件は
「周期的な関数でなくてはならない」というものです
周期的といっても大抵の関数は周期的と呼ぶには些か不規則です
ですがこう見るとどうでしょう

ここに全く周期的でない波形があります

f:id:akikanR:20170605203311p:plain

上の波形が周期的に繰り返される関数だと考えると

f:id:akikanR:20170605203354p:plain

ね？周期的でしょう？

非周期的な関数でも同じものが後に繰り返されていると考えると良いです
こうして考えるとあらゆる関数は周期的であるということができます
＜まとめ＞
・ディリクレの条件を満たすあらゆる関数はsin波とcos波での足し合わせで表現できる
・ディリクレの条件は非常にゆるい

【2】コンピュータ上でのフーリエ変換の利用
さて、前項に「ディリクレの条件を満たすあらゆる関数はsin波とcos波での足し合わせで表現できる」と書いているのに最初に提示されたフーリエ変換にcosもsinもないじゃないか！と思う人もいるでしょう
フーリエ変換の∞の扱いどうするんだ！という疑問と共に答えていきます
まずコンピュータ上では∞を厳密に扱えないため、離散フーリエ変換（略称DFT）を扱います

以下が定義式です

f:id:akikanR:20170605203516p:plain